Autores:

Luiz Fernando Martha
(Professor de Análise de Estruturas)

Introdução

O Processo de Cross (ou Método da Distribuição de Momentos) é um método relativamente simples para o cálculo de momentos fletores em vigas contínuas, pórticos planos, grelhas e até em pórticos espaciais. Este método só se aplica para estruturas sem deslocabilidades externas (do tipo translação), isto é, ele só se aplica a estruturas com barras inextensíveis e que só tenham deslocabilidades do tipo rotação. Apesar desta limitação, o método criado por Hardy Cross na década de 1930 ("Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments," Transactions, ASCE, Paper no. 1793, vol. 96, 1936) ainda é utilizado hoje para o cálculo de estruturas. O Método da Distribuição de Momentos tem também um objetivo acadêmico, pois serve como introdução ao Método dos Deslocamentos, que é o método atualmente mais utilizado para a análise de estruturas formadas por barras.

Este manual descreve uma ferramenta gráfica, chamada e-Cross, para o ensino do Processo de Cross. Este programa tem por objetivo demonstrar aos usuários, alunos de Graduação em Engenharia Civil, como o Processo de Cross funciona para o caso de vigas contínuas. A execução do programa evidencia a intepretação física do Método da Distribuição de Momentos, mostrando como a configuração deformada da viga e o diagrama e momentos fletores variam durante a solução iterativa do método. O programa também mostra os cálculos da mesma forma que são feitos em uma solução manual, fazendo uma associação com a interpretação física.

As principais vantagens do programa e-Cross são oriundas da linguagem de programação utilizada: Java. Esta foi escolhida por permitir a execução do programa em modo on-line pela Internet, ou em modo off-line, após download do programa e do ambiente JRE (Java Runtime Environment). O programa pode ser obtido através do endereço URL: https://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/cross. Outra vantagem da linguagem Java é que ela é baseada no paradigma de Programação Orientada a Objetos, permitido a reutilização do código de uma maneira bastante natural.

O programa e-Cross é uma ferramenta educativa para ser utilizada durante as aulas de Análise Estrutural de qualquer curso de Engenharia Civil, quando se leciona o Processo de Cross. O alunos também podem acessar o programa de suas próprias casas, facilitando bastante o aprendizado do método. O fácil acesso também possibilita a utilização do programa para cálculo de vigas contínuas, sempre útil para o projeto de estruturas.

Motivação

O desenvolvimento desta ferramenta educacional foi motivado pelo excelente livro texto de autoria de Richard White, Peter Gergely e Robert Sexsmith da Universidade de Cornell: Structural Engineering, vol. 2, John Wiley, 1976. O livro explica o Método da Distribuição de Momentos com auxílio de um experimento físico mostrado na figura abaixo (que foi copiada do livro). O programa e-Cross pode ser visto como uma versão virtual deste experimento.

Experimento físico para simulação do Processo de Cross
(White, Gergely e Sexsmith, Structural Engineering, vol. 2, John Wiley, 1976).